STUDI • MARIANO TOMATIS ANTONIONO

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Analisi statistica delle geometrie sacre

STIMA PROBABILISTICA DEGLI ALLINEAMENTI ATTESI • 1° LUGLIO 2006

Nel libro di Bill Putnam e John Edwin Wood, The Treasure of Rennes-le-Château A Mystery Solved (Sutton Publishing, 2003, pp.217-224) dedicato alla vicenda storica di Rennes-le-Château viene affrontato il tema degli allineamenti geografici tra punti notevoli identificati sulla mappa di Quillan: poiché in alcuni lavori viene attribuita alla presenza di un alto numero di allineamenti tra i punti di una mappa una significatività statistica, Putnam & Wood hanno proposto un metodo statistico per stimare il numero di allineamenti attesi determinati dalla distribuzione casuale di N punti all'interno di un rettangolo dall'area fissata. Tale numero consente di formulare un'ipotesi nulla verso cui confrontare la mappa di un territorio. Putnam & Wood utilizzano il risultato medio ottenuto da 10 iterazioni del loro metodo di calcolo per confrontarlo con gli allineamenti effettivi determinanti da alcune chiese presenti sulla mappa di Quillan, mostrando così la non significatività degli allineamenti prodotti, che non si discostano dal valor medio.

Questo articolo intende formalizzare il calcolo proposto da Putnam & Wood e confermarne i risultati con un numero superiore di iterazioni (5000).

Definizione di allineamento

Dati tre punti P1 P2 e P3, si può dire che esiste una relazione di allineamento tra di loro se uno dei punti si trova ad una distanza inferiore ad un valore prederminato E dal segmento che ha come estremi gli altri due punti. Tale valore E costituisce lo scarto dall'allineamento preciso. Più in generale, dati N punti (P1… PN) si può dire che esiste un allineamento di M punti se M-2 punti si trovano ad una distanza inferiore a E dal segmento determinato da altri due punti.

In figura il punto P3 è allineato a P1 e P2 perché dista dal segmento P1P2 meno dello scarto ammesso E. Il punto P4 invece non è allineato a P1 e P2 perché dista da P1P2 più di E.

Per individuare uno per uno gli allineamenti presenti in una data area geografica è necessario individuare gli N punti notevoli del paesaggio che si intendono prendere in considerazione. Per ognuna delle N(N-1)/2 coppie di punti (PA e PB) si dovrà calcolare la distanza di tutti i restanti punti dal segmento che unisce PA e PB e confrontarla con il valore predeterminato E.

Numero di allineamenti attesi

Fissati due punti P1 e P2 all’interno di un’area rettangolare pari a A, questi determinano un rettangolo formato dalla distanza P1P2 e dal doppio dello scarto E. Tutti i punti all’interno del rettangolo sono allineati a P1 e P2 e tutti quelli all’esterno non sono allineati.

In figura, il rettangolo determinato dai P1 e P2; P3 è all’interno del rettangolo dunque è allineato agli altri due. P4 è all’esterno e dunque non allineato.

La costruzione del rettangolo consente di semplificare il calcolo della probabilità che un punto scelto a caso sia o meno allineato a P1 e P2. Posta la condizione che un qualsiasi punto Px sia distinto da P1 e P2, ovvero si trovi ad una distanza da ognuno dei due punti superiore a 2E (altrimenti viene ritenuto indistinguibile), la probabilità che Px si trovi all’interno del rettangolo determinato da P1 e P2 è pari al rapporto tra l’area del rettangolo (2·P1P2·E) e quella dell’area A complessiva, ovvero:

Il valore rappresenta anche la probabilità che Px sia allineato a P1 e P2.

La probabilità che lo stesso punto si trovi fuori dal rettangolo (ovvero non sia allineato a P1 e P2) è pari a q = 1 – p

La formula della distribuzione probabilistica binomiale ci consente di calcolare la probabilità che nessuno, uno, due, tre o in generale M punti si trovino all’interno del rettangolo, determinando così un allineamento di M+2 punti.

Disponendo casualmente N punti su un piano e scelti due di questi a determinare il valore di p, la probabilità che M punti siano allineati ai due – formando così un allineamento di M+2 punti – è pari a:

Con un algoritmo opportunamente definito si possono scegliere a caso un certo numero di punti e calcolare per ogni coppia i corrispondenti valori di probabilità che la generica linea PA e PB rappresenti un allineamento di esattamente 2, 3, 4 punti e così via. Calcolati i valori di probabilità per tutte le N(N-1)/2 coppie di punti e facendone la media, si ottiene una frequenza media complessiva dei segmenti che rappresentano un allineamenti di 2, 3, 4 punti ecc.

Moltiplicando ognuna di queste probabilità per il numero di segmenti totali, pari a N(N-1)/2, si ottiene una distribuzione del numero atteso di segmenti che rappresentano un allineamento di 2, 3, 4 punti ecc.

Un esempio

Scelta un’area di dimensioni 5000 × 5000 (dall’area pari a 25000000) si definiscono due punti scelti a caso P1(280,2800) e P2(3716,1904):

I due punti distano 3550,903. Poiché imponiamo una distanza di scarto pari a 10, i due punti determinano un rettangolo di area pari a 71018,06. Il rapporto tra l’area di questo rettangolo e l’area totale è pari a 0,002841. Questa è anche la probabilità p (in percentuale pari al 0,3%) che un punto scelto a caso cada nel rettangolo – ovvero sia allineato a P1 e P2.

e così via, dove ogni

rappresenta la probabilità che esattamente z dei n–2 punti si trovino allineati ad Px e Py.

Seguendo l’esempio, i valori ottenuti sono:

Ci aspettiamo, dunque, che – al variare di P1 e P2 – nel 75,7% dei casi i due punti P1 e P2 rappresenteranno un banale allineamento di due punti (P1 e P2), nel 21,1% dei casi esisterà un terzo punto che costituirà con P1 e P2 un allineamento a tre punti, nel 2,9% dei casi P1 e P2 saranno gli estremi di un allineamento di quattro punti e così via. La probabilità che P1 e P2 siano gli estremi di un segmento di 5, 6, 7… fino a 98 punti non è nulla ma abbastanza piccola per ritenerla nulla in questa sede.

Facendo la media dei valori di rn(Px,Py,z) per tutte le coppie di punti Px e Py, separatamente

per i diversi valori di z, si ottiene una frequenza media

che stima la probabilità che esattamente z punti sul totale di n-2 siano allineati ai restanti due. Nell’esempio, calcolando il valore di r

(Px,Py,n) per tutte le possibili coppie Px,Py si determina la frequenza media

che stimerà la probabilità che esattamente z dei 98 punti si trovino allineati ai restanti due punti.

Valutata sul set di punti riportati in Appendice, tale stima assume i seguenti valori:

Ripetuto il calcolo di tali stime per 5000 set di 100 punti diversi e facendo una media delle stime ottenute, si possono alla fine moltiplicare tali valori medi per il numero totale di segmenti, pari a n(n–1)/2, nell’esempio 4950, ottenendo così il numero A(M) di allineamenti di M punti atteso per un generico set di N punti:

Questo significa che, data un’area di 5000 m. per 5000 m., scelti a caso 100 punti distinti (lontani almeno 20 metri), se si accetta un margine di errore di 10 m., i 4950 segmenti che collegano i 100 punti costituiranno rispettivamente:

4053 allineamenti (banali) di 2 punti;
792 allineamenti di 3 punti;
95 allineamenti di 4 punti;
9 allineamenti di 5 punti;
1 allineamento di 6 punti.

La probabilità che esistano allineamenti di un numero di punti superiore a 6 è estremamente bassa.

Conclusioni

La stima effettuata iterando 5000 volte ha parzialmente corretto la stima di Putnam & Wood, sostanzialmente confermandone i risultati.

Si auspica per il futuro la possibilità di formalizzare meglio il problema e, con un passaggio al continuo, di calcolare analiticamente il numero di allineamenti: ciò eviterebbe la necessità di utilizzare simulazioni di Montecarlo per la valutazione della stima probabilistica.

© 2017 Mariano Tomatis Antoniono